The Schrödinger equation

He aquí el décimo noveno The Thought of The Week by Solid Stone. The Thought of The Week by Solid Stone is a trademark of Liquid Stone incorporated, Liquid Stone incorporated is a trademark.

Este es un ensayo que escribí para una clase de Cuántica básica, no recuerdo bien de donde saque el articulo original, pero si recuerdo les paso el enlace, disfruten.

The Schrödinger equation.

Por Terence Tao

En este articulo, el autor hace notar la importancia de la ecuación de Schrödinger tanto para la mecánica cuántica como para las matemáticas; hace notar que en física es una de las ecuaciones mas fundamentales jugando el mismo rol que la ley de movimiento de Hamilton, además de que en matemáticas puras es una de las ecuaciones básicas estudiadas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales y tiene aplicaciones en geometría y en sistemas integrables, entre otros.

El articulo, profundiza primero a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, la cual, permite describir sistemas de muchas partículas bajo la influencia de una variedad de fuerzas, esto considerando que estas partículas tienen masa distinta de cero y están en un espacio n-dimensional.

Haciendo un poco de álgebra, y partiendo de que una partícula en mecánica clásica tiene una posición y un momento especifico, se demuestra que las ecuaciones de Hamilton y Poisson, son equivalentes entre si, y además, de la conservación de la energía dada por la ecuación de Hamilton, se obtiene una cantidad E independiente del tiempo, con esta cantidad E se tiene la ecuación de Hamilton independiente del tiempo.

Analizando el análogo cuántico mecánico de este sistema clásico, se necesita un pequeño parámetro distinto de cero al cual se le conoce como la constante de Planck; en este nuevo sistema, el estado de una partícula en un tiempo dado no se puede describir a partir de un simple punto en el espacio, pero si por una función de onda y, la cual tiene valuación en el campo de los números complejos, a diferencia de mecánica clásica esta función de onda no necesariamente tiene una posición especifica en mecánica cuántica , pero si se tiene una posición promedio, similarmente, no tiene un momento especifico pero si un momento promedio definido por la ley de Planck.

A primera vista el momento parece ser un vector valuado en el campo de los números complejos, pero de hecho es un vector valuado en el campo de los números reales, generalizando, se define un valor promedio A en un tiempo t, con esto se tiene que el análogo para la ecuación de movimiento de Hamilton es la ecuación dependiente del tiempo de Schrödinger tal y como se conoce actualmente y el análogo a la ecuación de movimiento de Poisson es la ecuación de Heisenberg.

Se tiene conservación de energía dada por el Hamiltoniano, esto implicaría en mecánica clásica, que existe un número E tal que el Hamiltoniano siempre toma el valor de E, en mecánica cuántica esto pasa regularmente pero no siempre, pero es posible que el estado cuántico y oscile en el tiempo y entonces se tiene que Hψ(t) = Eψ(t) para todo tiempo t, como resultado de esto, la ecuación de Schrödinger, ahora independiente del tiempo, esta referida a un nivel de energía o eigenvalor de la función y, el cual no siempre tiene un comportamiento oscilatorio tan simple, pero se puede hacer una superposición de ondas, para energías finitas.

Se pueden conocer las soluciones a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo si se conocen las soluciones para la ecuación independiente del tiempo, las cuales también se pueden ver como transformaciones de Fourier.

A simple vista, la ecuación de Schrödinger y la ecuación de Hamilton, parecieran no estar relacionadas entre si, así mismo la ecuación de Heisenberg y la de Poisson no parecen estar relacionadas, sin embargo, existen fuertes analogías, dada una clásica solución a la ecuación de Hamilton, se puede construir una familia de soluciones aproximadas a la ecuación de Schrödinger, esto se puede ver como un ejemplo de principio de correspondencia, que indica que se pueden hacer aproximaciones utilizando mecánica clásica para acercarse a la mecánica cuántica, esto es posible solo si se trabaja con una constante de Planck pequeña y se trabaja a escalas macroscópicas.

En matemáticas, hay formalizaciones a este principio que permiten el uso del conocimiento del comportamiento de la ecuación de Hamilton del movimiento para analizar la ecuación de Schrödinger, como ejemplo, si las ecuaciones clásicas de movimiento tienen una solución periódica, entonces es posible que la ecuación de Schrödinger también tenga una solución periódica o muy cercana a serlo, y si las ecuaciones de la mecánica clásica tienen una solución caótica, entonces la ecuación de Schrödinger también la tendrá, esto es conocido como el caos cuántico.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, tiene soluciones que dependen de el valor de E, el cual si el operador H esta en un campo dimensional finito, arrojara un número finito de eigenvalores y las soluciones a la ecuación Hψ(t) = Eψ(t) no serán triviales, sin embargo, el operador H también actúa sobre un espacio dimensional infinito haciendo sus soluciones aun mas complicadas.

También es posible tener soluciones a la ecuación Hψ(t) = Eψ(t) que no decaigan a infinito, pero que si tiendan o estén acotadas por infinito, esto depende mucho de si valor de E cae en una o mas componentes de H.

Existen muchas variaciones y generalizaciones a la ecuación de Schrödinger, para sistemas de múltiples partículas, o agregar campos magnéticos o algunas otras variables, en general, la ecuación de Schrödinger tiene muchas aplicaciones en ambos campos de la ciencia, matemáticas puras y física matemática.