The Nature of Dirac Equation

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Este ensayo lo escribi para una clase de Cuantica basica, si quieren leer el articulo original, piquenle aqui, disfruten.

The Nature of Dirac Equation.

Kevin Gibson - Noviembre 4, 2009

La motivación de este artículo es explorar la ecuación de Dirac, su significado y lo que dice, de donde surge y su importancia en la mecánica cuántica relativista, también se ve el surgimiento del spin como propiedad intrínseca de la materia simplemente del hecho de relativizar la ecuación de Schrödinger, pero sin encontrar una mayor explicación.

La ecuación de Dirac es superficialmente similar a la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, donde el lado izquierdo representa el cuadrado del operador de momento dividido por dos veces la masa, esto es la energía cinética no relativista, y si se quiere una generalización relativista de esta ecuación, las derivadas deben entrar simétricamente y ser del mismo orden en espacio y tiempo:

En relatividad, el momento y la energía son componentes de un vector de espacio tiempo, y están relacionados por la ecuación:

Al remplazar E y p por y se obtiene la ecuación relativista:

Resolviendo la ecuación formalmente por iteraciones, proponiendo un problema de valores propios, y tomando la raíz cuadrada del operador de onda se tiene que:

Se debe asumir para esto que AB + BA = 0 con A² = B² =1.

Esto inmediatamente explico la aparición de funciones de onda de dos componentes en la teoría fenomenológica de spin de Pauli, algo que se sabía misterioso hasta ese entonces, aun para Pauli mismo, como sea, es necesario tener matrices de 4 × 4 para obtener un sistema con las propiedades deseadas, y al factorizar en términos de estas matrices se puede escribir la ecuación:

Con κ por ser determinada.

Aplicando el operador de matriz en ambos lados se tiene que:

Si se toma se encuentra que las componentes de la función de onda individualmente satisfacen la relación relativista energía-momento, así, la ecuación de primer orden en espacio tiempo es:

Si (A, B, C) = iβα_n y D = β entonces se tiene la ecuación de Dirac.

La ecuación de Dirac es básica para la teoría cuántica relativista y es ampliamente aplicada a partículas como electrones y protones, originalmente fue propuesta por Dirac de la forma:

[1]

Donde α_n y β son matrices Hermitianas de 4 × 4 mutuamente anticonmutativas, es decir, α_iα_j = - α_jα_i y _iβ = - βα_i, c es la velocidad de la luz y m₀ es la masa en reposo del electrón, además Ψ es una matriz columna de 4 componentes.

Las soluciones para la ecuación de Dirac deben cumplir también la ecuación de Klein-Gordon, que es típicamente vista como una ecuación escalar de la forma:

Ahora, sea Ψ la función de onda solución de esta ecuación de Klein-Gordon, dada como el producto escalar de una función Ψ_k multiplicado por una matriz columna llamada K, es decir, Ψ = Κ Ψ_k, y sustituyendo esta función de onda en la ecuación de Dirac, asumiendo que K es una matriz constante, entonces la ecuación de Dirac queda como:

Reduciendo a una ecuación escalar mediante la multiplicación por una matriz transpuesta conjugada de K, para permitir elementos complejos en la ecuación, entonces la ecuación queda de la forma:

Donde las partes que incluyen a K son escalares, y haciendo sustituciones adecuadas entonces se puede rescribir la ecuación como:

[2]

Con y

Hasta este punto, se ha transformado la ecuación de Dirac en una ecuación escalar un poco mas sencilla (ecuación [2]), la cual es condición necesaria para satisfacer simultáneamente las ecuaciones de Dirac y Klein-Gordon.

Linealizando la ecuación E² = c² p² + (m₀ c²)² utilizando las ecuaciones estándar para energía y momento, se tiene que:

(m₀ γ c²) E = (c² m₀ u) · p + (m₀ c²)² (con u y p vectores)

⇒ E = u·p + m₀ c² · 1/γ [3]

Para los estados propios de energía y momento, si se asume que V → u y Γ → 1/γ entonces la ecuación escalar de Dirac [2] es compatible con la ecuación de energía [3].

Ahora, ¿qué significado tiene la matriz K?, para determinar su significado, se deben sustituir las expresiones estándar para an y b en los valores de V_n y de Γ para que de esta forma queden las cuatro ecuaciones siguientes:









De las ecuaciones anteriores, los estados asociados a K₁ y K₂ representan energía positiva, mientras que los demás estados, K₃ y K₄, representan energía negativa; un estado con un único elemento no cero de K representa energía en reposo y para que exista movimiento, se debe tener un elemento de K no cero en ambas energías, tanto positiva como negativa.

Si se consideran tres posibles escenarios:

K = (K₁, 0, 0, 0) ⇒ Γ = 1 ⇒ E = m₀ c²
K = (0, 0, 0, K₄) ⇒ Γ = -1 ⇒ E = -m₀ c²
K = (K₁, 0, 0, K₄) ⇒ -1 ≤ Γ ≤ 1 = ⇒ E ≥ m₀ c² o E ≤ -m₀ c²

Un estado con ambos K₁ y K₄ estará en movimiento y tendrá una energía positiva mayor que su energía en reposo o una energía negativa menor a su energía negativa de reposo, esto causa un conflicto conceptual si se quiere ver cada estado por separado, pues si K₁ y K₄ representan estados, entonces el tercer estado debe representar una mezcla de energía positiva y negativa, y si se tiene una energía dada por |E| ≤ -m₀ c² debería ser posible, sin embargo no lo es, así pues es lógicamente inconsistente asignar un estado a cada elemento, solo se puede decir que una configuración particular de K lleva a un estado particular.

El primer y tercer elemento de Y corresponden a estados con spin arriba y los demás elementos corresponden a estados con spin abajo, sin embargo, esta es una interpretación muy pobre por los argumentos antes mencionados, lo mas que se puede decir es que los elementos de K, K₁ y K₃ no ceros, tendrán spin arriba y spin abajo, y de acuerdo con la teoría, la ecuación de Dirac muestra al spin como una propiedad intrínseca de la materia, pero la derivación no incluye ninguna información sobre ninguna de las propiedades intrínsecas de la partícula en cuestión, además esta solución es para materia con dos estados de spin llamados partículas spin ½, y la ecuación de Klein-Gordon solo funciona para partículas sin spin, pero como ya se discutió en este artículo, esto no es posible.