Playing on the board

He aquí el centésimo trigésimo tercero The Thought of The Week by Solid Stone. The Thought of The Week by Solid Stone is a trademark of Liquid Stone Incorporated, Liquid Stone Incorporated is a trademark.

Playing on the board.

Dos cuerrrrrpos no pueden ocuparrr el mismo espacio al mismo tiempo.

Imaginen la frase anterior, con un acento Alemán marcado, pero, ¿A que viene la frase? pues verán, esa frase es famosa porque cuentan las malas lenguas que alguien muy famoso la dijo, aunque muchas veces no es así pero se interpreta como si así fuera, en esta entrada, tratare de mostrar la validez de esa frase.

Sea μ el espacio 6-dimensional generado por r y v vectores, entonces un punto en este espacio nos ejemplifica la posición y la velocidad de una partícula encerrada en una caja, ahora, sea Γ el espacio 6N-dimensional generado por p y q donde p es el momento, q son las coordenadas generalizadas y N es el numero de partículas del sistema que llamaremos ensemble.

Sea ω el volumen de un elemento de Γ. Sea S la superficie de ω y el vector v dado como v = {ṗ₁, ṗ₂, ..., ṗ_N, q₁, q₂, ... , q_N}.

Por el teorema de la divergencia, d/dt ∫ ρ dω = ∫ ds n · vρ = ∫ ∇ · (vρ) dω

⇒ ∫dω [(∂ρ/∂t) + ∇ · (vρ)] = 0

⇒ (∂ρ/∂t) + ∇ · (vρ) = 0

Por la regla de la cadena, ∇ · (vρ) = v ∇ · ρ + ρ ∇ · v

Pero ∇ = {∂/∂p₁, ∂/∂p₂, ..., ∂/∂p_3N,∂/∂q₁, ∂/∂q₂, ..., ∂/∂q_3N}

⇒ v · ∇ = ṗ₁∂/∂p₁ + ṗ₂∂/∂p₂ + ... + ṗ_3N∂/∂p_3N + q₁∂/∂q₁ + q₂∂/∂q₂ + ... + q_3N∂/∂q_3N

Y también, ∇ · v = ∂ṗ₁/∂p₁ + ∂ṗ₂/∂p₂+ ... + ∂ṗ_3N/∂p_3N + ∂q₁/∂q₁ + ∂q₂/∂q₂ + ... + ∂q_3N/∂q_3N

⇒ (∂ρ/∂t) + ∇ · (vρ) = (∂ρ/∂t) + ṗ₁∂ρ/∂p₁ + ṗ₂∂ρ/∂p₂ + ... + ṗ_3N∂ρ/∂p_3N + q₁∂ρ/∂q₁ + q₂∂ρ/∂q₂ + ... + q_3N∂ρ/∂q_3N + ρ ∂ṗ₁/∂p₁ + ρ ∂ṗ₂/∂p₂+ ... + ρ ∂ṗ_3N/∂p_3N + ρ ∂q₁/∂q₁ + ρ ∂q₂/∂q₂ + ... + ρ ∂q_3N/∂q_3N = 0

Pero el termino ρ ∂ṗ₁/∂p₁ + ρ ∂ṗ₂/∂p₂+ ... + ρ ∂ṗ_3N/∂p_3N + ρ ∂q₁/∂q₁ + ρ ∂q₂/∂q₂ + ... + ρ ∂q_3N/∂q_3N = 0

Resumiendo, (∂ρ/∂t) + ∇ · (vρ) = (∂ρ/∂t) + ∑_i {ṗ_i∂ρ/∂ṗ_i + q_i∂ρ/∂q_i} = 0 con i = 1, ..., 3N.

Pero se sabe que:

ṗ_i = - ∂H/∂q_i

q_i = ∂H/∂ṗ_i

Sustituyendo ṗ y q se tiene que:

⇒ (∂ρ/∂t) + ∑_i {∂H/∂ṗ_i ∂ρ/∂q_i - ∂H/∂q_i ∂ρ/∂ṗ_i} = 0

Esto quiere decir que el paréntesis de Poisson {∂H/∂ṗ_i ∂ρ/∂q_i - ∂H/∂q_i ∂ρ/∂ṗ_i} = 0 entonces H conmuta con ρ y entonces ρ se conserva.

Ahora, en el espacio Γ, si ρ es un plato de spaghetti, entonces el spaghetti se conserva!! es decir, se puede enredar, pero no puede romperse y luego pegarse para formar nuevo spaghetti!!!

Todo lo anterior fue para medio mostrar que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo - A. Einstein

Para terminar... al parecer tengo mucho tiempo libre después de clases...